[선형대수학] 기본 표기법(Basic Notation)
머신러닝을 위한 선형대수학
선형대수학의 기본 개념들
벡터(Vector): 숫자의 배열로 표현되며, 일반적으로 소문자와 굵은 글씨체로 표기한다. 예를 들어, v.
행렬(Matrix): 숫자의 2차원 배열로, 대문자와 굵은 글씨체로 표기한다. 예를 들어, A.
행렬의 곱셈: 두 행렬 A와 B의 곱셈은 AB로 표현하며, 이는 행렬의 각 행과 열의 내적으로 계산된다.
전치 행렬(Transpose): 행렬의 행과 열을 바꾼 것으로, 예를 들어 행렬 A의 전치는 AT로 표현한다.
단위 행렬(Identity Matrix): 대각선 상의 모든 원소가 1이고, 나머지 원소가 0인 정사각 행렬로, I로 표기한다.
역행렬(Inverse Matrix): 행렬 A의 역행렬은 A-1로 표기하며, AA-1 = I를 만족한다.
벡터의 내적(Inner Product): 두 벡터 v와 w의 내적은 v와 w의 각 성분의 곱의 합으로, vTw로 표기한다.
벡터의 노름(Vector Norm): 벡터의 크기를 나타내며, ||v||로 표기한다. L2 노름은 벡터의 각 요소의 제곱 합의 제곱근으로 계산된다.
기본 표기법 (Basic Notation)
- $A \in \mathbb{R}^{m\times n}$ : $m$개의 행과 $n$개의 열을 가진 행렬
$x \in \mathbb{R}^n$ : $n$개의 원소를 가진 벡터
- $n$차원 벡터는 $n$개의 행과 1개의 열을 가진 행렬로 생각할 수도 있고 이것을 열벡터(column vector)로 부르기도 한다.
- 행벡터(row vector)를 표현하려면, $x^T$($T$는 transpose를 의미)로 쓴다.
$x_i$ : 벡터 $x$의 $i$번째 원소
\[\begin{align*} x = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix} \end{align*}\]$a_{ij}$(또는 $A_{ij}, A_{i,j}$) : 행렬 $A$의 $i$번째 행, $j$번째 열에 있는 원소
\[\begin{align*} A = \begin{bmatrix} a*{11} & a*{12} & \cdots & a*{1n}\\ a*{21} & a*{22} & \cdots & a*{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a*{m1} & a*{m2} & \cdots & a\_{mn} \end{bmatrix} \end{align*}\]$a_j$ 혹은 $A_{:,j}$ : $A$의 $j$번째 열
\[\begin{align*} A = \begin{bmatrix} \vert & \vert & & \vert\\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n\\ \vert & \vert & & \vert \end{bmatrix} \end{align*}\]$a_i^T$ 혹은 $A_{i,:}$ : $A$의 $i$번째 행
\[\begin{align*} A = \begin{bmatrix} \rule[.5ex]{1.7ex}{0.5pt} & a_1^T & \rule[.5ex]{1.7ex}{0.5pt}\\ \rule[.5ex]{1.7ex}{0.5pt} & a_2^T & \rule[.5ex]{1.7ex}{0.5pt}\\ & \vdots &\\ \rule[.5ex]{1.7ex}{0.5pt} & a_m^T & \rule[.5ex]{1.7ex}{0.5pt} \end{bmatrix} \end{align*}\]
NumPy (Numerical Python)
NumPy는 파이썬에서 다차원 배열을 다루고 계산하는데 특화되어 있는 라이브러리이다
효율적인 데이터 구조와 다양한 수학적 함수와 연산을 제공해서 수치 계산 작업을 단순하게 만들어준다.
주요 특징:
다차원 배열 (Numpy Array): 다차원 배열을 다루기 위한 강력한 도구를 제공하며, 이러한 배열은 행렬과 유사한 구조를 가지고 있다.
효율성: NumPy 배열은 내부적으로 저수준 언어(C)로 작성된 루틴을 사용하여 빠른 연산을 제공하므로 대용량 데이터 처리에 이상적이다.
수학적 함수와 연산: 다양한 수학적 함수와 연산을 제공하여 선형 대수, 통계, 푸리에 변환 등 다양한 계산 작업을 지원한다.
데이터 분석과 과학적 연구: NumPy는 데이터 분석, 머신 러닝, 과학적 연구 등 다양한 분야에서 널리 사용되며 데이터 처리 작업에 필수적이다.
이런 이유로 선형대수학, 행렬 계산을 프로그래밍으로 구현할 때 numpy를 사용한다.
Python에서의 벡터와 행렬 표현 방법
Python에서 벡터는 일반적으로 숫자의 리스트로 표현된다. 예를 들어, 다음과 같은 벡터가 있다.
1
[10.5, 5.2, 3.25, 7.0]
numpy 라이브러리를 사용하면 이 리스트를 ndarray 객체로 변환할 수 있다. numpy는 다차원 배열을 쉽게 처리할 수 있게 해준다.
1
2
import numpy as np
x = np.array([10.5, 5.2, 3.25, 7.0])
x의 shape를 쿼리하면 배열의 차원과 길이를 알 수 있다.
1
2
x.shape
# (4,)
특정 인덱스의 요소에 접근하려면, 인덱스를 사용한다.
1
2
3
i = 2
x[i]
# 3.25
하나의 차원을 추가하여 벡터를 2차원 배열로 만들 수도 있다. 이 경우 벡터는 열 벡터로 확장된다
1
2
3
4
5
6
x_2dims = np.expand_dims(x, axis=1)
x_2dims
#array([[10.5 ],
# [ 5.2 ],
# [ 3.25],
# [ 7. ]])
2차원 배열의 특정 요소에 접근하려면, 다음과 같이 한다.
1
2
3
x_2dims[0] # array([10.5])
x_2dims[0][0] # 10.5
x_2dims[0, 0] # 10.5
x_2dims의 shape는 이제 다음과 같다.
1
2
x_2dims.shape
# (4, 1)
행렬은 2차원 배열로 표현된다. 예를 들어, 다음과 같은 행렬 A를 만들 수 있다.
1
2
3
4
5
6
7
A = np.array([
[10, 20, 30],
[40, 50, 60]
])
A
# array([[10, 20, 30],
# [40, 50, 60]])
A의 shape를 쿼리하면 행과 열의 수를 알 수 있다.
1
2
A.shape
# (2, 3)
특정 행이나 열의 요소에 접근하려면 인덱스를 사용한다.
1
2
3
4
i = 0
j = 2
A[i, j]
# 30
열 벡터를 얻으려면 슬라이싱을 사용한다.
1
2
3
j = 1
A[:, j]
# array([20, 50])
행 벡터도 같은 방법으로 얻는다.
1
2
3
i = 1
A[i, :]
# array([40, 50, 60])